Теорема Виета для многочленов

Положим

Покажем, как подобрать нужный многочлен степени не выше для данного многочлена степени При домножении на ненулевую константу условие не поменяется (многочлен можно домножить на ту же константу), поэтому считаем, что старший коэффициент равен так что

Возьмём произвольный набор различных чисел дающих в сумме и положим

так что Видим, что у и совпадают коэффициенты при и при поэтому степень не превышает С другой стороны, абсциссы точек пересечения графиков и — это в точности корни многочлена а их ровно

Покажем, что не работает. Пусть дан многочлен а — многочлен степени не выше Предположим, что графики и пересекаются в точках, имеющих абсциссы Но тогда многочлен степени имеет вещественных корней С другой стороны, у коэффициенты при и равны 0. Но тогда по теореме Виета

Отсюда

следовательно,

что противоречит тому, что различны.