Теорема Виета для многочленов

Будем доказывать, что среди корней есть два, являющиеся корнями трёхчлена с рациональными коэффициентами: можно домножить все коэффициенты на произведение знаменателей и получить искомый трёхчлен с целыми коэффициентами. Также можно считать, что старший коэффициент равен иначе поделим на этот коэффициент, условие на новый многочлен останется прежним.

Обозначим корней многочлена как Далее будем записывать коэффициенты многочлена по теореме Виета для многочленов.

Во-первых, — рациональное.

Во-вторых, — тоже рациональное.

Тогда рациональное, откуда следует, что рациональное.

Значит, рациональное.

Наконец, — тоже рациональное.

Таким образом, образуют искомую пару корней.