Теорема Виета для многочленов
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Известно, что система уравнений
имеет ровно четыре решения 
. Найдите сумму
Ответ округлите до десятых.
Источники:
Подсказка 1
Непонятно как искать эти решения, поэтому посмотрим под другим углом на то, что требуется найти. Пусть мы ищем сумму x и сумму y. На что тогда это похоже?
Подсказка 2
Это же теорема Виета для уравнения 4 степени! Тогда нужно из системы выразить уравнение 4 степени для x и y.
Подсказка 3
Из второго уравнения легко выражается x, который можно подставить в первое и получить уравнение 4 степени для y.
Подсказка 4
Сумму для y нашли, а как же найти сумму для x? Нам мешает y^2 в обоих уравнениях. Тогда путем умножения на константу и сложения избавимся от y^2. Тогда остается выразить y через x, подставить y и получить уравнение 4 степени для x.
Рассмотрим второе уравнение системы
Заметим, что 
не является решением, тогда
Поставим 
в первое уравнение системы и преобразуем, получив уравнение 4-ой степени относительно 
Заметим, что раз 
— решения системы, то 
будут корнями данного уравнения,
причём различными, иначе бы какие-то решения системы совпали в силу выражения 
через 
Т.к. многочлен 4-ой степени может иметь
не более 4 корней, значит, других не будет. Тогда по теореме Виета
Теперь возьмём второе уравнение системы, удвоим его и сложим с первым уравнением, получим
Заметим, что 
не является решением, тогда
Подставим 
в первое уравнение системы и преобразуем, получив уравнение 4-ой степени теперь относительно 
Аналогично случаю с 
по теореме Виета
В итоге
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
