Корни многочленов
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны натуральные числа 
такие, что выполнено 
а также 
Докажите, что
многочлен
не имеет положительных корней.
Подсказка 1
Докажем, что P(x) знакопостоянен при x > 0. Попробуем доказать, что P(x) < 0. Для этого оценим сначала сомножители второго слагаемого в алгебраической сумме, выражающей P снизу. Как это сделать?
Подсказка 2
Верно! Применим неравенство о средних к набору из числа (x+1) и (a-1)-ой единицы для каждого a из скобочек вида (x+a) второго слагаемого. Таким образом, мы оценим снизу каждый сомножитель вида (x+a). Легко заметить, что равенство возможно только при a = 1. А что получится, если перемножить все оценки на (x+a)?
Подсказка 3
Верно! Это покажет, что P(x) ≤ 0. А возможно ли равенство?
Неравенство Коши, примененное к набору из числа 
и 
единиц, дает
следовательно,
причем равенство достигается лишь при 
поскольку 
Таким образом,
то есть,
причем равенство выполняется тогда и только тогда, когда
то есть когда 
что неверно по условию. Следовательно, 
для всех 
и 
не имеет положительных
корней.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
