Корни многочленов
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Саша выбрал 199 многочленов с вещественными коэффициентами так, что сумма любых ста из них имеет вещественный корень. Докажите, что сумма каких-то девяти из них также имеет вещественный корень.
Источники:
Подсказка 1:
По принципу Дирихле найдутся 100 многочленов со старшими коэффициентами одного и того же знака. Пусть это будет плюс. Давайте обозначим их через f_1, f_2, ..., f_{100} и рассмотрим их сумму. Быть может, нам удастся пойти от противного и найти противоречие, связанное с ней?
Подсказка 2:
Давайте предположим, что сумма любых девяти многочленов не имеет корней. Но тогда любая сумма девяти рассмотренных многочленов положительна, не так ли? Как связать эту сумму с суммой всех многочленов?
Подсказка 3:
Давайте рассмотрим суммы вида f_i + f_{i+1} + ... + f_{i+8} (будем считать, что f_{j + 100} = f_j для всех j). Все они положительные. Что тогда можно сказать про их сумму?
Без ограничения общности можно считать, что многочленов с положительным старшим коэффициентом больше, чем с отрицательным
(иначе домножим все многочлены на 
). Тогда можно выбрать 100 многочленов 
…, 
с положительным старшим
коэффициентом. Рассмотрим многочлены
где 
и 
Получается, что все многочлены 
тоже с положительными старшими коэффициентами. Значит,
если они все не имеют корней, то
Но тогда
то есть многочлен
не имеет вещественных корней, противоречие.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
