Корни многочленов
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Есть два приведенных (то есть с коэффициентом 1 при старшей степени) многочлена 
и 
равных четных степеней с
вещественными коэффициентами. Известно, что уравнение 
не имеет вещественных корней. Какие из следующих уравнений
имеют, а какие не имеют вещественные корни (хотя бы один корень)?
- 1.
-
- 2.
-
- 3.
-
Источники:
Подсказка 1
Посмотрим внимательно на предложенные уравнения. Ответ на один из пунктов задачи можно дать простой заменой переменных, но что делать с остальными?
Подсказка 2
Давайте вспомним, что интересного мы знаем о количестве корней многочлена с вещественными коэффициентами? Может ли быть так, что многочлен нечётной степени не имеет вещественных корней?
Подсказка 3
Чтобы определить чётность многочлена, получающегося в результате работы с каждым из уравнений, будем работать в первую очередь с двумя старшими степенями всех многочленов. Представьте P(x) в виде х^(2n) + a*x^(2n - 1) + p(x) и Q(x) в виде х^(2n) + b*x^(2n - 1) + q(x) — что можно сказать про коэффициенты а и b?
Подсказка 4
Рассмотрим первое уравнение! Запишите его при помощи представлений из первого пункта, а бином Ньютона поможет нам чуть-чуть раскрыть скобки и представить в нужной форме правую часть. Приведите подобные слагаемые для разности и сделайте выводы о чётности получившегося многочлена.
Подсказка 5
Нужно ли нам что-то раскрывать, чтобы сделать выводы о третьем уравнении? Если внимательно на него посмотреть, то перестановки и замена переменной решают эту задачу!
Введём обозначения, пользуясь условием.
где 
— многочлены степени не выше 
Так как уравнение 
не имеет вещественных корней, то и уравнение
не может иметь вещественных корней, так как мы имеем простую замену переменных. Поскольку 
не
имеет вещественных корней, имеем 
иначе 
был бы многочленом нечётной степени 
и потому имел бы хотя бы
один вещественный корень.
Рассмотрим уравнение 
и раскроем все члены 
где 
по формуле бинома Ньютона:
где 
многочлены 
имеют степени не выше 
Следовательно,
является многочленом нечётной степени с вещественными коэффициентами, и, следовательно, уравнение 
имеет хотя бы
один вещественный корень.
Уравнение 
имеет вещественный корень, что доказывается из предыдущих рассуждений после перестановки 
и 
из
чего после простой замены следует существование вещественного корня уравнения 
Уравнения 1 и 3 имеют хотя бы по одному вещественному корню каждое, а уравнение 2 не имеет ни одного вещественного корня.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
