Корни многочленов
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дано натуральное число 
Илья задумал пару различных многочленов степени 
(с вещественными коэффициентами), аналогично Саша
задумал пару различных многочленов степени 
Лёня знает 
его цель — выяснить, одинаковые ли пары многочленов у Ильи и Саши.
Лёня выбирает набор из 
вещественных чисел 
и сообщает эти числа. В ответ Илья заполняет таблицу 
для
каждого 
он вписывает в две клетки 
-го столбца пару чисел 
(в любом из двух возможных порядков), где 
и
— задуманные им многочлены. Аналогичную таблицу заполняет Саша. При каком наименьшем 
Лёня сможет (глядя на таблицы)
наверняка добиться цели?
Источники:
Подсказка 1
Предположим, Лёня выбрал k = 2n точек. Можем ли мы придумать две разные пары многочленов степени n (P₁, Q₁ и P₂, Q₂), при которых таблицы Ильи и Саши будут одинаковыми, хотя пары многочленов разные. Как можно использовать факт, что в таблице порядок значений P(xᵢ) и Q(xᵢ) не фиксирован?
Подсказка 2
Попробуем "разделить" точки на два набора по n штук. Пусть A(x) обращается в ноль на первом наборе точек, а B(x) — на втором. Какие значения будут принимать многочлены вида ±A ± B в выбранных точках?
Подсказка 3
Теперь пусть Лёня выбрал k = 2n + 1 точек. Предположим, что таблицы Ильи и Саши совпали. Сколько раз каждый многочлен Ильи (P₁ или Q₁) обязан совпасть по значению с каким-то многочленом Саши (P₂ или Q₂) в одной и той же точке xᵢ?
Подсказка 4
Найдется пара многочленов, один Сашин, второй Ильи, у которых значения совпадают хотя бы n + 1 точке. Если два многочлена степени не выше n принимают одинаковые значения в более чем n различных точках, что можно сказать об этих многочленах?
Покажем, что при 
(а тем более при 
) Лёня не сможет однозначно определить определить пару 
Пусть он
назвал
Положим
так что 
для 
и 
для 
Тогда если Илья загадал 
и
то в 
-м столбце таблицы будут числа 
при 
и числа 
при 
Но та же таблица годится для пары 
и 
её мог загадать Саша.
С другой стороны, покажем, что при 
таблице Ильи может удовлетворять не более одной пары многочленов 
Предположим противное, и есть две такие пары: 
и 
Тогда 
совпадает с 
или 
хотя бы при 
различных
значениях аргумента, пусть, скажем, с 
Но тогда 
и 
— одинаковые многочлены (поскольку их разность — многочлен степени
не выше 
имеющий не менее 
различных корней). Из таблицы тогда получаем, что значения 
и 
совпадают в 
точке, а тогда и 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
