Корни многочленов

Подсказка 1

Попробуем подобраться к оценке: какие из многочленов могут иметь общий корень? По условию P(x) и Q(x) в совокупности имеют 4 корня. Тогда у них нет общих корней. Разбираться в общих корнях P(x) и P(Q(x)) не очень хочется, а вот в P(x) и Q(P(x))...

Подсказка 2

Если a- общий корень P(x) и Q(P(x)), то P(a)=0 и Q(P(a))=0, но тогда Q(0)=0. Это значит, что если P(x) и Q(P(x)) имеют общий корень и одновременно с этим Q(x) и P(Q(x)) имеют общий корень, то P(x) и Q(x) имеют общий корень, равный 0, а такое невозможно. Какую оценку мы уже можем дать?

Подсказка 3

Если корней не более 5, то P(x) и Q(P(x)) имеют общий корень и одновременно с этим Q(x) и P(Q(x)) имеют общий корень, что невозможно. Теперь надо придумать пример для 6 и задача убита...

Подсказка 4

Осталось самое сложное- пример. Из оценки видно, что кто-то из P(x) и Q(x) должен иметь корень 0. Пускай это будет P(x). Тогда: P(x)=mx(x-A) и Q(x)=n(x-C)(x-B). D и E-оставшиеся два корня. Ясно, что множество корней P(Q(x)) совпадает с множеством корней совокупности Q(x)=0 и Q(x)=A. Аналогично множество корней Q(P(x)) совпадает с множеством корней совокупности P(x)=B и P(x)=C. Тогда множество корней Q(P(x)) это B, C, D, E. А вот множество корней P(Q(x)) точно содержит B, C и что-то из 0, A, D, E. Попробуйте каким-то образом распределить корни по уравнениям Q(x)=A, P(x)=B и P(x)=C и попытаться решить систему.

Подсказка 5

Если вы еще пытаетесь найти пример, попробуйте положить, что Q(x)=A имеет корни 0 и D, P(x)=B имеет корни C и D, а P(x)=C имеет корни B и E. Тогда мы получим систему из 6 уравнений и 7 неизвестными.

Подсказка 6

Из системы можно получить, что С+D=B+E=A и B+C=D. Теперь можно наугад взять какие-то маленькие целые числа A, B, C, D, E так, чтобы выполнялись предыдущие равенства и надеется, что при этом m и n определятся однозначно. В противном случае, пробовать другие

Подсказка 7

Возьмите B=-1, C=2 и завершите пример