Корни многочленов

Подсказка 1

Давайте сначала сделаем оценку, потому что непонятно, как подобраться к примеру. Рассмотрим неравенство из условия. Справа у нас присутствует модуль, а слева его нет. Удобнее работать с таким неравенством, когда с обеих сторон модуль. Как можно добиться того, чтобы и слева был модуль?

Подсказка 2

Верно, можно записать произведение под знаком модуль, так как это будет больше, чем обычное произведение многочленов. Давайте теперь попробуем что-нибудь подставлять и смотреть, что получается. Что хорошего сюда можно подставить, чтобы сделать какие-то выводы?

Подсказка 3

Да, давайте попробуем подставить один из корней Q(x). Тогда слева у нас будет ноль. В итоге, мы получили, что модуль неположительный. Но такое может быть, если только корень Q(x) является и корнем P(x). Отсюда следует важный вывод: множество корней произведения Q(x) и P(x) совпадает с множеством корней P(x). Мы получили максимальную информацию из такого неравенства, поэтому теперь можем сократить на |P(x)| для всех x, не являющихся корнями P(x). Что теперь хочется узнать про Q(x)? Может ли он при каких-то значения быть не больше -1, а при каких-то хотя бы 1?

Подсказка 4

Верно, так происходить не может. Q(x) либо хотя бы 1 при всех рассматриваемых x, либо не превосходит − 1 при всех рассматриваемых x. Действительно, если предположить противное, то мы быстро получаем противоречие. Допустим Q(x)≥ 1. Какой вывод тогда про знак P(x) можно сделать, возвращаясь к исходному неравенству из условия?

Подсказка 5

Да, P(x) принимает только неотрицательные значения при всех x. Но тогда у него не может быть корней кратности 1! Получается, что каждый корень кратности хотя бы 2. Если степень многочлена равна 10, то отсюда уже можно понять, что максимальное число корней P(x) равно пяти. Осталось только придумать несложный пример и победа!