Корни многочленов

Докажем, что хотя бы одно значение приведённого многочлена степени в целой точке по модулю не меньше Пусть — эти точки. Тогда выполняется равенство (интерполяционная формула Лагранжа)

Значит,

откуда легко следует требуемое неравенство (первое равенство — сравнение старших коэффициентов в интерполяционной формуле Лагранжа).

Поскольку при возрастает и стремится к бесконечности, то для любого существует такое что при Пусть — такое число, что многочлен принимает все свои значения, по модулю меньше внутри интервала Для соответствующего верно утверждение задачи: ведь если бы у неравенства из условия нашлись хотя бы решение, то по утверждению выше среди решений нашлось бы такое, что Но тогда по выбору числа