Корни многочленов

Предположим противное — существуют такие многочлены и , что выполнено тождество .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Первое решение.

У многочленов и нет общих корней, иначе это будет кратный корень суммы кубов, а у многочлена кратных корней нет.

Тогда многочлен имеет степень ) (старшие коэффициенты не сократятся) и не имеет корней, поскольку выражение равно 0 только при . Но такого делителя у многочлена нет.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Применим формулу суммы кубов:

При имеем , откуда , то есть .

Значит, многочлен имеет корнями числа , откуда его степень не меньше (поскольку он не тождественный ноль). В частности, у одного из многочленов и степень не меньше — не теряя общности, пусть у . Тогда, из равенства (*), степень многочлена равна 0 , то есть это ненулевая константа. Но это невозможно, так как из представления видно, что у этого многочлена старшая степень не меньше, чем максимум из степеней многочленов и , то есть, не меньше . (Можно сказать иначе: принимает сколь угодно большие значения, откуда - тоже, то есть, последний многочлен не может быть константой).