Корни многочленов
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дано натуральное число 
. Можно ли представить многочлен 
в виде суммы двух кубов многочленов с
действительными коэффициентами?
Источники:
Подсказка 1
Ну если доказывать, что для любого многочлена подобного вида он всегда разложим в сумму двух многочленов-кубов, то либо конструктивно предъявлять два таких многочлена(и как вы потом будете доказывать, что они тождественно равны, уж не раскрывать ли скобки?), либо как-то в общем случае говорить, но тоже абсолютно непонятно как. Тогда, если сложно доказать ответ «Да», попробуем доказать ответ «Нет». Тогда пусть он представим в виде суммы двух многочленов-кубов. Если бы у нас были вместо многочленов числа, то можно было бы посмотреть на делимость чего-то на что-то, так как слева у нас произведение из условия, а правую часть можно разложить как сумму кубов. Попробуйте это сделать, ведь вам ничего не мешает говорить про делимость, только уже многочлена на многочлен!
Подсказка 2
Ну множитель просто их суммы как-будто уже мало что может дать(в рамках нашей задачи, что сумма кубов, что просто сумма в смысле количества условий и чего-то, что можно из этого вывести, почти ничем не отличны, кроме того, что сумму кубов можно разложить), поэтому посмотрим на другую скобку, которая как мы знаем всегда больше нуля. Что тогда следует из этого?
Подсказка 3
Что эта скобка не разложима на линейные сомножители над R. То есть, ее нельзя представить в виде произведения скобок вида (x - k)^t. Осталось только посмотреть на степень неполного квадрата разности и на левую часть и понять, что мы решили задачу.
Предположим противное — существуют такие многочлены 
и 
, что выполнено тождество 
.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Первое решение.
У многочленов 
и 
нет общих корней, иначе это будет кратный корень суммы кубов, а у многочлена 
кратных
корней нет.
Тогда многочлен 
имеет степень 
) (старшие коэффициенты не сократятся) и не имеет корней,
поскольку выражение 
равно 0 только при 
. Но такого делителя у многочлена 
нет.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Второе решение.
Применим формулу суммы кубов:
При 
имеем 
, откуда 
, то есть 
.
Значит, многочлен 
имеет корнями числа 
, откуда его степень не меньше 
(поскольку он не тождественный
ноль). В частности, у одного из многочленов 
и 
степень не меньше 
— не теряя общности, пусть у 
. Тогда,
из равенства (*), степень многочлена 
равна 0 , то есть это ненулевая константа. Но это невозможно, так
как из представления 
видно, что у этого многочлена старшая степень не меньше, чем
максимум из степеней многочленов 
и 
, то есть, не меньше 
. (Можно сказать иначе: 
принимает сколь угодно большие значения, откуда 
- тоже, то есть, последний многочлен не может быть
константой).
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
