Корни многочленов

Если то Если то обозначив получаем

Последний многочлен имеет степень а значит, имеет действительный корень. Покажем, что при всех остальных парах такие многочлены и существуют. Если одно из чисел или четно (не умаляя общности ) положим Тогда У последнего многочлена все степени одночленов четные, при них положительные коэффициенты, и при этом свободный член больше Значит, данный многочлен строго положителен на всей вещественной оси.

Если же оба числа — нечетные, не умаляя общности Положим Тогда

Обозначим через и докажем, что многочлен не имеет корней. Степень данного многочлена четная, при этом в нулях производной выполнено

откуда то есть А значит в нулях производной Итого, при достаточно больших многочлен больше а также он больше нуля во всех нулях производной. Значит, он больше нуля при всех вещественных