Корни многочленов

Понятно, что степень — чётная, в противном случае при огромных по модулю отрицательных он бы принимал отрицательные значения. Теперь воспользуемся следующей теоремой, которая говорит о том, что любой многочлен над степени раскладывается в произведение линейных и квадратных множителей с отрицательным дискриминантом. Отсюда мы понимаем, что многочлен раскладывается на линейные и квадратичные множители с неположительным дискриминантом, у которых вещественные коэффициенты. Если какой-то линейный множитель входит в нечётной степени Будем считать, что — квадратных трёхчленов с неположительным дискриминантом, а — линейный множитель. Если же какой-то линейный множитель входит в чётной степени, то просто будем рассматривать его, как произведение нескольких квадратных трёхчленов с нулевым дискриминантом. Понятно, что количество линейных множителей чётно, тогда и количество вещественных корней чётно. Пусть это корни но тогда на отрезке многочлен принимает отрицательные значения. Таким образом, линейных множителей у него нет и он раскладывается на квадратичные трёхчлены с неположительным дискриминантом. Каждый такой трёхчлен представим в виде Теперь будем последовательно раскрывать скобки в произведении этих трёхчленов, используя тождество и получим нужное представление в виде