Корни многочленов
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть 
— квадратный трёхчлен, 
—многочлен степени 3. Может ли многочлен 
иметь шесть различных корней,
являющихся степенями 2?
Источники:
Подсказка 1
Что если a является корнем f(g(x))? Что можно сказать про g в этой точке? А сколько раз g может принимать конкретное значение?
Подсказка 2
Многочлен g(x) принимает каждое действительное значение не более 3 раз. А если a — корень f(g(x)), то g(a) — это корень f(x). В каком тогда случае f(g(x)) будет иметь 6 корней?
Подсказка 3
У f(x) есть два различных корня, каждое из которых достигается g(x). Давайте попробуем записать корни f(g(x)) через корни f(x). Пусть корни последнего это a и b. Что если предположить, что они действительно степени двойки?
Подсказка 4
Пусть двойки в некоторых степенях это корни многочленов g(x) - a и g(x) - b. С помощью чего можно записать условие на корни?
Подсказка 5
С помощью разложения на скобки! k1(x-2^(a₁))(x-2^(a₂))(x-2^(a₃)) + a = k2(x-2^(b₁))(x-2^(b₂))(x-2^2(b₃)).
Подсказка 6
Обратите внимание на коэффициенты перед x^2.
Заметим, что многочлен 
принимает каждое действительное значение не более 3 раз, так как у него степень ровно 3. Если 
— корень
, то 
— корень квадратного трёхчлена 
6 корней у многочлена 
достигаются только в том случае, если
у 
есть 2 различных корня, каждый из которых достигается ровно трижды многочленом 
. Скажем, 
—
корни 
, 
— корни многочлена 
, 
— корни многочлена 
. Тогда справедливо
следующее:
Понятно, что 
, как коэффициенты при 
. Рассмотрим коэффициент при 
у левой и правой части
равенства:
Предположим, что наши корни различны. Но тогда одно и то же натуральное число представимо в двоичной системе счисления двумя разными способами — противоречие. Значит, рассматриваемый многочлен не мог иметь 6 различных корней, являющихся степенями двойки.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
