Корни многочленов

По условию — решение системы

Вычтем из первого уравнения второе, тогда получим Из второго вычтем третье: Многочлены в левых частях этих уравнений не являются тождественными нулями, поскольку И — общий корень этих квадратных уравнений, поскольку каждое из этих уравнений — разность двух уравнений с общим корнем Заметим, что теперь максимальная степень в уравнениях равна Попробуем ее уменьшить еще раз. Для этого первое из полученных уравнений умножим на и вычтем из него второе полученное уравнение, умноженное на Тогда получится

После раскрытия скобок, группировки слагаемых с в одной стороне и слагаемых без — в другой получаем следующее:

Заметим, что является корнем и этого уравнения.

Докажем, что коэффициент перед не равен нулю. По неравенству о средних Сложим все три неравенства и получим, что то есть Поскольку оценка получена с помощью неравенства о средних, то равенство возможно тогда и только тогда, когда По условию поэтому случай равенства невозможен. Таким образом, полученное уравнение можно разделить на коэффициент при откуда что означает

Мы доказали, что если эти три уравнения имеют общий корень, то этот корень равен Осталось привести пример подходящих и Для этого подставим в исходную систему. Тогда мы получим три одинаковых уравнения вида Подходят, например,