Аркфункции
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите равенство:
Подсказка 1
Конечно, равенство можно доказать без помощи геометрии (одно из слагаемых мы можем непосредственно посчитать – остаётся лишь найти сумму двух углов, чьи тангенсы мы знаем), но ведь явно тут есть и красивая геометрическая интерпретация! Попробуйте придумать конструкцию, в которой бы нам встретились прямоугольные треугольники с углами arctg(1/2) и arctg(1/3)
Подсказка 2
Раз мы хотим, чтобы сумма трёх углов была равна 90 градусов, то хорошей мыслью будет от прямого угла отложить какие-то два угла + доказать, что третий будет тот самый из нашей суммы. Попробуйте провернуть такое в рамках прямоугольника! Выберите удобные стороны и отсеките прямоугольные треугольники с углами arctg(1/2) и arctg(1/3), как раз отложив такие углы от одного из прямых углов прямоугольника
Подсказка 3
Остаётся лишь доказать, что третий угол равен 45 градусам! У нас есть углы 90, а мы хотим 45 – где-то рядом мог притаиться равнобедренный прямоугольный треугольник. Найдите его, и задача убита!
Первое решение.
Отложим на оси координат от точки 
с координатами 
отрезок длины 
влево, длины 
вверх и длины 
вправо. Тогда
В треугольнике 
по теореме косинусов 
Тогда
. По теореме о сумме углов в треугольнике получаем, что 
, откуда следует
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Второе решение. Сначала заметим, что 
. Кроме того, 
из-за области определения каждого
арктангенса из суммы. По формуле тангенса суммы
Поскольку угол лежит на промежутке 
, то это единственное возможное значение. Отсюда сумма из условия равна
.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Третье решение. Рассмотрим прямоугольник 
со сторонами 
и 
и построим из точки 
лучи с нужными тангенсами:
Заметим, что 
и 
, то есть осталось доказать, что 
(поскольку сумма всех трёх
равна 
). Но 
, так что по обратной теореме Пифагора 
, причём 
равнобедренный
прямоугольный, откуда и следует нужное равенство.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
