Классическая вероятность, условная вероятность и формула Байеса

Число недовольных пассажиров может быть от до . Введем случайную величину — “число недовольных”.

Если то решение очевидно: недовольных либо нет, либо один, причём оба случая равновозможны.

, только если ровно пассажиров предпочитают курицу, а остальных — рыбу. Будем считать успехом событие “пассажир хочет курицу”. Тогда

Ровно один пассажир будет недоволен, если число пассажиров, предпочитающих курицу, отличается от на единицу, то есть число успехов равно . Поэтому

Рассуждая так же, найдём, что недовольных пассажиров случится с вероятностью

В последовательности чисел всего число (это -я строка треугольника Паскаля). Сначала эти числа возрастают при , а потом убывают при . При этом среднее число больше других, но оно меньше, чем удвоенное предыдущее:

(равенство наступает только при )

Таким образом, при

Таким образом, наиболее вероятное число недовольных — один.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание. Это неожиданный результат — мода распределения не зависит от . Матожидание же (по сути среднее число недовольных пассажиров) равняется уже что по формуле Стирлинга можно аппроксимировать как

Скажем, если на борту пассажиров, то следует в среднем ожидать, что из них окажутся недовольны. Это не означает, что можно решить все проблемы с недовольными пассажирами, имея всего запасных комплектов питания каждого вида. Чтобы все были довольны с вероятностью, допустим, не менее, чем , комплектов нужно несколько больше, чем ожидание числа недовольных. Если пассажиров то недовольных не окажется почти наверняка (с вероятностью более чем если взять лишних комплекта — по комплекту каждого вида (проверьте).

Напомним, что мы проводим расчёт в упрощенной ситуации. В жизни, наверно, вероятности предпочтения рыбы и курицы не одинаковы. Если бы мы это учли, выкладки были бы примерно такими же, как сейчас, но намного более громоздкими, и такие красивые результаты не получились бы.