Классическая вероятность, условная вероятность и формула Байеса

Если нарисовать на гранях кубика стрелки, направленные в сторону, куда пополз жук — мы тем самым опишем исход броска. Всего таких исходов будет (6 граней, на каждой по 4 варианта), и они равновероятны.

Пример на развертке:

Рассмотрим исходы приведут нас к такому же кубику. На каждую грань должно вползать по одному жуку, то есть на каждую грань должна быть направлена ровно одна стрелка. Значит, если начать двигаться против направления стрелок — дорогу мы найдём однозначно, «развилок» не будет, и в конце концов, так как граней на кубике конечное число, мы будем вынуждены вернуться на грань, с которой начали. Это верно для любой грани. Иными словами, рисунок из стрелок образует на сторонах кубика цикл или несколько циклов.

Граней 6, поэтому длины циклов потенциально могут быть от 2 до 6. Циклы в 2, 3, 4 и 6 жуков нарисовать получится, а вот попытка нарисовать цикл длиной 5 приведёт к неподвижному жуку, так как жуки внутри цикла поменяются друг с другом местами, а последний не сможет переползти из своей грани, не оставив ее пустой. Значит, правильный исход может состоять из таких циклов: 2, 2, 2; 2, 4; 3, 3; 6. Посчитаем количество возможных рисунков с такими свойствами.

• 2, 2, 2 (то есть жуки попарно меняются местами). Жук с верхней грани меняется местами с жуком с одной из 4 боковых, а жуку с нижней остаётся всего 2 на выбор (он не может ползти на грань, противоположную выбранной верхним жуком). То есть таких конфигураций
• 2, 4. Цикл длиной 4 обходит вокруг ребра куба — по или против часовой стрелки. Оставшиеся два жука меняются местами. Значит, число таких конфигураций равно числу способов выбрать ребро (рёбер 12) умножить на 2 (по или против часовой). Значит,
• 3, 3. Цикл длиной 3 обходит вокруг вершины по или против часовой. Оставшиеся 3 жука ползут так же. Верхняя грань участвует в одном из циклов, значит мы можем выбрать для неё 4 соседние вершины, 2 ориентации, и ещё есть 2 ориентации для оставшихся жуков. Будет рисунков.
• 6. Обойдём куб по направлению стрелок. С верхней грани мы можем перейти на одну из 4 боковых. Дальше мы можем повернуть налево, направо, или спуститься на нижнюю грань. Варианты «налево» и «направо» могут продолжится двумя способами: либо мы идём в ту же сторону, либо спускаемся вниз. Если мы шли в ту же сторону — дальше путь продолжается однозначно (через нижнюю грань), если спускались — вариантов дорисовывания 2. Вариант «на втором шаге мы спустились вниз» дорисовывается до полного цикла двумя способами.

Всего циклов длиной 6 будет А вероятность равна