Классическая вероятность, условная вероятность и формула Байеса

(a) Есть перестановок, в которых Б последний, а перестановок, в которых А первый и Б последний — Значит, условная вероятность того, что А первый, если Б последний, равна

(b) Есть перестановок, где А не последний. При этом перестановок, где А первый — Значит, условная вероятность того, что А первый, если А не последний, равна

(c) Есть перестановок, где Б не последний. При этом перестановок, где А первый и Б не последний — так как Б может стоять на втором или третьем месте, а остальных двух человек можно переставить двумя способами в каждом из двух случаев расстановки Б. Тогда условная вероятность того, что А первый, если Б не последний, равна

(d) Заметим, что перестановок, в которых Б стоит позже А, ровно так как всего перестановок, и в каждой расстановке, в которой Б позже А, соответствует одна расстановка, в которой Б стоит раньше А. При этом перестановок, где А первый ровно так как Б может встать на любое из трех мест, и в каждом случае есть еще варианта расставить оставшихся двух людей. Итого, условная вероятность равна

(e) Аналогично предыдущему пункту перестановок, где А стоит раньше В, ровно При этом есть перестановок, где А стоит раньше Б и раньше В. Действительно, А не может стоять на или позиции; если стоит на первой, то он раньше Б и В в перестановках. Если же А на второй позиции, то существует варианта, когда А раньше Б и В. Итого, условная вероятность равна