Классическая вероятность
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Четыре человека А, Б, В, Г становятся в очередь в случайном порядке. Найдите
(a) условную вероятность того, что А первый, если Б последний;
(b) условную вероятность того, что А первый, если А не последний;
(c) условную вероятность того, что А первый, если Б не последний;
(d) условную вероятность того, что А первый, если Б стоит в очереди позже A;
(e) условную вероятность того, что А стоит в очереди раньше Б, если известно, что А раньше В.
Пункт a), подсказка 1
Такс, а в скольких перестановок Б - последний? И в скольких из них А - первый?
Пункт a), подсказка 2
Верно, Б будет последним в 6 случаях, так как остальных людей мы можем расставить 3! способами. А из этих случаев, А будет первым ровно в 2, потому что двух оставшихся(В и Г) мы можем расставить 2! способами. Остаётся лишь найти отношение числа этих способов!
Пункт b), подсказка 1
Сколько есть перестановок, где А - не последний?(подсказка в подсказке: для этого удобно из всех вариантов вычесть лишние)
Пункт b), подсказка 2
Да, таких перестановок 4! - 3! = 18. Если А - первый, то таких перестановок аналогично 3!
Пункт c), подсказка 1
По аналогии с прошлым пунктом, если Б - не последний, то таких перестановок 18. А как посчитать все перестановки, где A - первый?
Пункт c), подсказка 2
Верно, для этого заметим, что Б может быть на второй или третьей позиции. Поэтому всего 4 таких варианта!
Пункт d), подсказка 2
Верно, поскольку мы рассматриваем положение А относительно Б, то А будет ровно в половине случаев раньше Б. А сколько перестановок, в которых А первый(для этого удобно зафиксировать человека А и пронаблюдать за тем, куда можно поставить Б)?
Пункт d), подсказка 3
Да, для Б ровно 3 позиции, тогда, на оставшиеся 2 можно 2 способами расположить оставшихся людей!
Пункт e), подсказка 1
Если А раньше В, то как мы выяснили в пункте d, таких перестановок 12. Какие позиции может занимать А, если он раньше двух людей?
Пункт e), подсказка 2
Да, А может быть только первым или вторым! Поэтому всего вариантов, когда А первый: 3! + 2 = 8
(a) Есть 
перестановок, в которых Б последний, а перестановок, в которых А первый и Б последний — 
Значит, условная
вероятность того, что А первый, если Б последний, равна 
(b) Есть 
перестановок, где А не последний. При этом перестановок, где А первый — 
Значит, условная вероятность того,
что А первый, если А не последний, равна 
(c) Есть 
перестановок, где Б не последний. При этом перестановок, где А первый и Б не последний — 
так как Б может стоять на втором или третьем месте, а остальных двух человек можно переставить двумя способами
в каждом из двух случаев расстановки Б. Тогда условная вероятность того, что А первый, если Б не последний, равна
(d) Заметим, что перестановок, в которых Б стоит позже А, ровно 
так как всего 
перестановок, и в каждой расстановке,
в которой Б позже А, соответствует одна расстановка, в которой Б стоит раньше А. При этом перестановок, где А первый ровно 
так
как Б может встать на любое из трех мест, и в каждом случае есть еще 
варианта расставить оставшихся двух людей. Итого, условная
вероятность равна 
(e) Аналогично предыдущему пункту перестановок, где А стоит раньше В, ровно 
При этом есть 
перестановок, где А стоит
раньше Б и раньше В. Действительно, А не может стоять на 
или 
позиции; если стоит на первой, то он раньше Б и В в 
перестановках. Если же А на второй позиции, то существует 
варианта, когда А раньше Б и В. Итого, условная вероятность равна
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
