Классическая вероятность, условная вероятность и формула Байеса

Пусть в первой урне помещено чёрных и белых шаров, а во второй, соответственно, чёрных и белых. Вероятность выбрать белый шар при описанной процедуре равна

Зафиксируем значение и выясним, при каком вероятность будет максимальной. Выражение в скобках равно

Знаменатель положителен и не зависит от а максимум числителя получается при максимуме Можно считать, что так как в противном случае можно поменять номера коробок, от чего не зависит результат. Ясно, что максимум достигается при Это значит, что и в первую коробку кладутся только белые шары.

Таким образом, вероятность равна

Максимум второго слагаемого имеет место при минимуме обратной величины откуда максимально, и потому минимально, откуда

Таким образом, в первую коробку кладём один белый шар, а во вторую всё остальное. Вероятность выиграть приз при этом равна