Тема . Количество способов, исходов, слагаемых и теория вероятностей

Классическая вероятность

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела количество способов, исходов, слагаемых и теория вероятностей

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#74502

В лаборатории имеются колбы двух размеров (объемом $V$ и объемом $V∕2$ ) в суммарном количестве 100 штук, причем колб каждого размера не менее трех. Лаборант поочередно случайно выбирает три колбы, и первую из них полностью заполняет 80-процентным раствором соли, вторую полностью заполняет 50-процентным раствором соли, а третью колбу полностью заполняет 20 процентным раствором соли. Затем он сливает содержимое этих трех колб в одну чашу и определяет процентное содержание соли в ней. При каком наименьшем количестве больших колб $N$ событие «процентное содержание соли в чаше находится в пределах от $45%$ до $55%$ включительно» будет случаться реже события «при случайном бросании двух симметричных монет выпадает орел и решка (в любом порядке)»? Ответ обосновать.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала, надо обозначить количество больших и малых колб, учитывая, что их сумма равна 100 и количество каждого типа не меньше 3. Теперь, давайте переберем все случаи, которые могут быть при вытаскивании трёх колб и поймем, какие нам подходят, а какие нет.

Подсказка 2

Да, если мы вытащим три большие колбы, то содержание соли будет 50 процентов, это нам подходит, так как(0.8V+0.5V+0.2V)/(3V) = 0.5. Переберите остальные случаи, а после этого вспомните, что мы как-то обозначили количество больших и малых колб(например, N - количество больших колб, а n - маленьких)

Подсказка 3

Верно, если мы переберем все случаи, то получим, что условие на процентное содержание выполняется, когда у нас 3 больших или три малых колбы, также если в маленькую колбу залить 50% раствор, а остальные колбы большие и последний случай, когда в большую колбу залили 50% раствор, а остальные колбы маленькие! Осталось написать уравнение через определение вероятности, ведь всего вариантов выбрать три колбы(если их пронумеровать, чтобы все они были различны) 100*99*98

Подсказка 4

После приведения подобных у нас останется уравнение ((N-50)²+2450)/4950 < 1/2. Остаётся найти такое минимальное N(мы сравниваем именно с одной второй, так как вероятность выпадения одного орла и одной решки за 2 броска равна 1/2)

Показать ответ и решение

Если $N$ — имеющееся количество больших колб в лаборатории, $N =3,4,...,$ $97,$ то $n =100− N$ — имеющееся количество малых колб в лаборатории, $n= 3,4,...,97.$ Для события $A = {$ содержание соли в чаше находится в пределах от $45%$ до $55%$ включительно $}$ необходимо найти такое наименьшее $N,$ что вероятность $1 P(A)< 2.$

Мысленно перенумеруем все имеющиеся в лаборатории колбы — присвоим им личные номера от 1 до 100. И тогда равновероятными исходами этого эксперимента будут упорядоченные тройки различных личных номеров последовательно выбираемых лаборантом колб: $ω =(i1,i2,i3),ij ∈{1,2,3,...,100},ij ⁄= ik,j,k= 1,2,3.$ Общее количество таких исходов равно $100⋅99⋅98.$

Вычислим теперь количество благоприятных исходов для появления события $A.$ Рассмотрим следующие случаи, определяемые размерными типами выбранных колб.

1.

Лаборант выбирает три большие колбы — тип [Б, Б, Б]. Тогда процентное содержание соли в чаше в результате описанных манипуляций лаборанта окажется равным величине:

(0,8V-+0,5V-+-0,2V)100 =50% ∈[45%;55%] 3V

Такой выбор благоприятствует появлению события $A.$ Количество элементарных исходов данного типа, очевидно, равно $N ⋅(N − 1)⋅$ $(N − 2).$

2.

Лаборант выбирает три маленькие колбы — тип [м, м, м]. Процентное содержание соли в чаше:

(0,8V∕2+-0,5V∕2+0,2V-∕2)100-= 50% ∈ [45%;55% ] 3V∕2

Такой выбор благоприятствует появлению события $A.$ Количество исходов в этом случае равно $n⋅(n − 1)⋅(n− 2).$

3.

Лаборант выбирает сначала две большие колбы, затем маленькую — тип [Б, Б, м]. Процентное содержание соли в чаше:

(0,8V-+-0,5V +-0,2V∕2)100 5V∕2 = 56% ∕∈[45%;55%]

Такой выбор не благоприятствует появлению события $A.$

4.

Лаборант выбирает последовательно большую, малую и большую колбы — тип [Б, м, Б]. Процентное содержание соли в чаше:

(0,8V-+-0,5V∕2+0,2V-)100- 5V∕2 = 50% ∈[45%;55%]

Такой выбор благоприятствует появлению события $A.$ Количество элементарных исходов в этом случае равно $N ⋅n⋅(N − 1).$

5.

Лаборант выбирает сначала малую колбу, затем две большие колбы — тип [м, Б, Б]. Процентное содержание соли в чаше:

(0,8V∕2+-0,5V-+0,2V-)100- 5V∕2 = 44% ∕∈[45%;55%]

Такой выбор не благоприятствует появлению события $A.$

6.

Лаборант выбирает сначала две малые колбы, затем большую колбу — тип [м, м, Б]. Процентное содержание соли в чаше:

(0,8V∕2+-0,5V∕2+0,2V-)100 =42,5% ∕∈[45%; 55% ] 2V

Такой выбор не благоприятствует появлению события $A.$

7.

Лаборант выбирает последовательно малую, большую и малую колбы — тип [м, Б, м]. Процентное содержание соли в чаше:

(0,8V∕2-+0,5V-+-0,2V∕2)100= 50% ∈ [45%;55%] 2V

Такой выбор благоприятствует появлению события $A.$ Количество элементарных исходов в этом случае равно $n ⋅N ⋅(n− 1).$

8.

Лаборант выбирает сначала большую, затем две малые колбы — тип [Б, м, м]. Процентное содержание соли в чаше:

(0,8V-+0,5V∕2+-0,2V∕2)100 =57,5% ∕∈[45%; 55% ] 2V

Такой выбор не благоприятствует появлению события $A$ .

Вычисляем вероятность события A (по формуле классической вероятности):

P (A) = N-⋅(N-− 1)⋅(N-−-2)+n-⋅(n−-1)⋅(n-− 2)+-N ⋅n-⋅(N-− 1)+-n⋅N-⋅(n-− 1)= 100⋅99⋅98

N3-+-n3− 3N2-− 3n2+-2(N-+-n)+98Nn- = 100⋅99⋅98 =

100(N2− Nn +n2)− 3N2− 3n2+ 200+ 98Nn 97(N2 +n2)+ 200− 2Nn = --------------100⋅99⋅98------------- = -----100⋅99-⋅98------=

2 = 97(N-+n)-+-200-− 196Nn-= 100⋅99⋅98

= 970200−-196N-(100−-N)= N2-−-100N-+-4950= (N-− 50)2+2450 100⋅99⋅98 4950 4950

Отсюда имеем

P(A)= (N-−-50)2+-2450-< 1⇔ 45< N < 55 4950 2

И значит, $Nmin = 46.$

Ответ: 46

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Классическая вероятность

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ