Принцип Дирихле

Предположим противное: любые две из данных бесконечных десятичных дробей совпадают лишь в конечном числе позиций. Для пары обозначим через число разрядов, где дроби и совпали. Обозначим

Тогда суммарное число совпадений по всем парам не превосходит

С другой стороны, по принципу Дирихле в каждом фиксированном разряде среди цифр найдутся хотя бы две равные , значит, в каждом разряде есть хотя бы одно совпадение. Следовательно, совпадений больше, чем — противоречие.