Принцип Дирихле

Первое решение.

Покажем, что за первую контрольную работу хотя бы человек получили одинаковую оценку. Так как и если предположить, что каждую оценку получило не более человек, то учеников не более противоречие.

Теперь покажем, что среди человек хотя бы у совпадает оценка за первые две контрольные. Допустим, что это не так и учеников не более Тогда всего учеников не более а у нас противоречие.

Мы получили, что хотя бы у человек совпадают оценки за первые две контрольные. Так как всего вариантов оценок за третью контрольную работу то по принципу Дирихле хотя бы у двоих среди уже имеющихся совпадут оценки и за третью контрольную работу, а значит, у них одинаковые оценки за каждую из трех контрольных.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Посчитаем, сколько различных наборов из трех оценок.

Есть варианта оценок за первую работу, варианта оценок за вторую и варианта за третью. Тогда всего различных наборов: а учеников

Тогда по принципу Дирихле найдутся ученика с одинаковыми оценками за каждую из работ.