Принцип Дирихле

Замечание. Нам даются условия на квадраты и на бесконечной клетчатой доске. Чтобы привести условия к одному виду, переформулируем их в терминах квадратов Легко видеть, что произвольный квадрат можно разбить на непересекающихся квадратов или на непересекающихся квадратов

Первое решение.

По условию в каждом квадрате не более пяти белых клеток, значит, не менее четырёх чёрных клеток. А тогда в каждом квадрате не менее чёрных клеток. Отсюда сразу же по принципу Дирихле получаем требуемое ( чёрных котика нужно рассадить в домиков, тогда хотя бы в одном домике будет хотя бы котиков).

Второе решение.

Предположим, что требуемое неверно, то есть в любом квадрате меньше чёрных клеток. Тогда в любом квадрате чёрных клеток не более Белых же клеток в соответствии с условием задачи не больше . Но ведь тогда всего клеток не больше , клеток других цветов нет, а в квадрате должно быть клетки. Мы пришли к противоречию. Значит, предположение о том, что в любом квадрате меньше чёрных клеток, неверно. А то, что просят доказать в задаче, верно.

Замечание. На самом деле можно было просить доказать, что квадратов с хотя бы чёрными клетками бесконечно много. Для бесконечной клетчатой доски после разбиения на квадраты это значит то же самое, что в каждом найдётся хотя бы один, ведь эти квадраты обладают одинаковыми свойствами.