Принцип крайнего

Среди наших чисел где-то есть Покажем для начала, что можно выбрать числа с одной стороны от числа так, чтобы их сумма была больше 100000. Сумма всех без чисел без равна

Тогда по принципу Дирихле с одной из сторон от числа сумма чисел не меньше 250000. Тогда, очевидно, с одной стороны от числа можно выбрать несколько подряд идущих чисел так, чтобы их сумма превосходила 100000. Без ограничения общности будем полагать, что эти числа находятся справа от (то есть числа, общая сумма которых не меньше 250000). Обозначим эти числа …, где — первое число справа от — второе число и так далее.

Выберем наименьшее такое что

Если теперь

то мы уже нашли подходящие числа. Предположим, что это не так. Тогда — наименьшее такое число, что поскольку

в силу выбора Покажем, что сумма

подходит.

Во-первых, все слагаемые этой суммы в нашем ряду стоят подряд.

Во-вторых, по условию. Обозначим

Тогда и, следовательно,

Остается доказать, что эта сумма не превосходит Для этого используем знание о том, что Тогда