Принцип крайнего
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На доске написано несколько натуральных чисел. Сумма любых двух из них — натуральная степень двойки. Какое наибольшее число различных может быть среди чисел на доске?
Подсказка 1
Сначала придумаем какой-нибудь пример для двух чисел. Самый простой - это 1 и 3. Можно ли сделать больше? Предположим, что у нас есть три числа. Как можно связать суммы этих чисел с учетом, что они являются степенями двойки?
Подсказка 2
Для того, чтобы ответить на вопрос из предыдущей подсказки, заметим, что любые две степени двойки отличаются хотя бы в 2 раза. Тогда если m и n - степени двойки и m < n, то 2m <= n. Какое неравенство тогда можно записать для наших чисел?
Подсказка 3
Пусть a, b, c - некоторые три имеющихся числа. Если b < c, то выйдет, что a + b < a + c, причем эти суммы - степени двойки. Таким образом, получаем 2(a+b) <= a + c. В этом неравенстве мы никак не использовали a. Можно ли наложить какое-нибудь условие на a так, чтобы получить противоречие?
Подсказка 4
Положим, что a - наибольшее число. Верно ли неравенство?
Предположим, что среди написанных чисел есть хотя бы 3 различных. Рассмотрим наибольшее из них (обозначим его через 
), а также два
других различных числа 
. По условию 
и 
различные степени двойки. Но тогда 
, что очевидно
неверно — противоречие. Поэтому различных чисел не больше 2. Ровно два различных числа могут быть (например, 1 и
3).
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
