Принцип крайнего

Пойдём от противного, пусть не существует более клубов с одинаковым числом жителей. Рассмотрим клуб с наибольшим количеством жителей, пусть в нём человек. Кроме этого клуба эти люди входят ещё в хотя бы клубов, поскольку каждый входит в хотя бы клубов и клубы пересекаются не более чем по одному человеку. Тогда всего получается хотя бы клуб, включая самый большой. Заметим, что по принципу Дирихле найдётся хотя бы клубов с одним количеством жителей, потому что всего не более различных размеров клубов, что и требовалось.