Принцип крайнего
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В каждой клетке таблицы 
записано вещественное число, все числа различны. Назовем клетку седловой, если число в ней строго
больше, чем среднее значение чисел в его столбце, и строго меньше, чем среднее значение чисел в его строке. Какое наибольшее количество
седловых клеток может быть на доске?
Подсказка 1
Сначала сделаем оценку. Могут лишь все числа в каком-то столбце или строке быть седловыми?
Подсказка 2
Нет, минимальные в своих столбцах и все числа, максимальные в своих строкаx числа таковыми быть не могут. Сколько таких на всей доске?
Подсказка 3
Докажите, что таких чисел не меньше, чем 2n-1.
Подсказка 4
Теперь приведём пример, тем самым докажем, что оценка достигается. Для этого положите по одному достаточно "большому" в каждый столбец и одному достаточно "маленькому" числу в каждую строку.
Пример. Выделим внутри большого квадрата квадрат 
и поставим в нём произвольные числа по модулю меньшие 
например, числа
В оставшемся столбце поставим числа меньшие 
в оставшейся строке 
а на их пересечении что
угодно. Тогда все клетки с нулями будут седловыми.
Оценка. Выделим все числа, минимальные в своих столбцах и все числа, максимальные в своих строках. Такие числа не могут быть
седловыми. Мы хотим сказать, что выделено хотя бы 
число, тогда оценка будет доказана. Если это не так, то нашлось два числа
и 
которые одновременно и минимальные в столбцах и максимальные в строках. Но тогда, 
Противоречие.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
