Инвариант

Первое решение. Назовём дискриминантом пары чисел величину

Докажем, что дискриминант всех пар чисел, записанных на доске, всегда отрицателен. Действительно, дискриминант пары чисел, записанной изначально, равен

Далее, верны следующие соотношения:

и

поэтому на доске ни в какой момент не может появиться пара с положительным дискриминантом. Теперь рассмотрим любую выписанную на доску пару В ней первое число

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Если на доске написана пара то с помощью первой операции можно добавить пары

Обе этим пары можно записать как

где в первом случае а во втором — С помощью второй операции можно добавить только пару

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Лемма. На каждом шаге для любых целых таких, что для любой пары чисел написанной на доске, выполняется неравенство

Для пары утверждение задачи верно. Далее, рассмотрим два типа операций:

Тогда для новой пары верно

Здесь также получаем нужное неравенство:

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

При получается в точности утверждение исходной задачи как частный случай.