Инвариант
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Во всех клетках на диагонали доски 
стоят знаки «
», в остальных клетках «
». За ход в случайной строке либо столбце
меняются знаки: «
» 
«
». Докажите, что в любой момент игры плюсов не менее 
Подсказка 1
Давайте сначала попробуем поменять значения в линиях и посмотреть, что будет происходить с плюсами и минусами в них.
Подсказка 2
Рассмотрим пересечение двух строк и столбцов. Они пересекаются по четырём клеткам. Тогда как бы мы не меняли знаки в строках и столбцах, чётность количества плюсов среди этих четырёх клеток не изменится. Следовательно, если изначально среди этих клеток ровно в одной был плюс, то при любом нашем ходе мы можем только увеличить количество клеток с "плюсами" среди этих четырёх. попробуем пораскрашивать?
Подсказка 3
Суммируя, нужно подобрать такую раскраску, чтобы каждым цветом были покрашены 4 клетки, лежащие на пересечении двух столбцов и двух строк, при этом только в одной из этих клеток стоит плюс, и каждая клетка может быть покрашена только одним цветом
Для каждой клетки (
) на диагонали квадрата (то самой, на которой стояли знаки «
») построим домик — четверку клеток (
),
(
), (
), (
); все индексы здесь считаются вычетами по модулю 
Заметим, что домики разных клеток не
пересекаются: в столбце 
находятся клетки (
) и (
) из домика (
) и (
), (
) из домика (
);
другие домики на этот столбец не залезают.
Легко видеть, что так как каждый домик является пересечением двух строк и двух столбцов, то четность количества плюсов в нём при
наших операциях не меняется. Изначально в каждом домике по одному плюсу, следовательно, хотя бы один плюс в нём всегда будет. Это
гарантирует нам 
плюсов в таблице в целом.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
