Инвариант
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В вершинах правильного 
-угольника расставлены попарно различные положительные числа. За одну операцию разрешается поменять
два числа 
и 
местами, если сумма двух наиболее удаленных от 
чисел равна сумме двух наиболее удаленных от 
чисел, и при этом
и 
не являются наиболее удаленными друг от друга. Докажите, что при помощи таких операций нельзя переставить два числа в
соседних вершинах так, чтобы все остальные числа оказались на своих исходных местах.
Подсказка 1
Попробуйте переставить числа так, чтобы нам было удобнее работать с условием.
Подсказка 2
Обозначим вершины многоугольника a₁,a₂ ... a₂₀₂₃ в порядке обхода. Давайте переставим числа так, чтобы соседними с a_i стали самые удалённые от a_i. Теперь стоит понять, как в новой расстановке будут расставлены соседи в исходной.
Подсказка 3
Задачу можно переформулировать так:
Подсказка 4
Попробуйте рассмотреть сумму произведений соседних чисел.
Пусть у нас на окружности расставлены числа 
в порядке обхода окружности. Теперь переставим числа так, чтобы
соседними с 
стали самые удаленные от 
числа (см. рис. на примере пятиугольника).
Переобозначим числа на круге на 
в порядке обхода окружности после перестановки. Тогда мы можем поменять 
и
местами, если сумма соседей равна, сами они не соседи.
Теперь наше условие выглядит так: "По кругу расставлены попарно различные числа 
Можно поменять местами любые
два не соседних числа, если суммы их соседей равны. Можно ли такими действиями получить расстановку, отличающуюся от исходной
поменянными местами двумя числами, стоящих через одно". Если на эту задачу ответ отрицательный, то и на исходную он тоже
отрицателен.
Рассмотрим сумму произведений соседних чисел. Пусть мы поменяли местами числа 
и 
с соседями 
и 
и 
соответственно.
Тогда наша сумма изменится на величину
т.к. 
Значит, при наших операциях эта сумма не меняется.
Но посмотрим, как эта сумма выглядит в расстановке, которую хотелось бы получить. Пусть поменялись местами числа 
и 
с
соседями 
и 
и 
соответственно. Тогда получившаяся сумма отличается от исходной на
т.к. все числа попарно различны по условию. Значит, мы не можем получить искомую расстановку.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
