Полуинвариант

Возьмём произвольное слово длины и будем последовательно передвигать в нем буквы A, не уменьшая при этом крутизну слова. Ясно, что в нашем слове должно быть хотя бы две буквы B, иначе крутизна слова равна Далее, предположим, что в слове между двумя буквами В есть буква А, т.е. слово имеет вид …В … …В …Посмотрим, с какой стороны от буквы больше букв А, и передвинем выделенную букву в тот конец слова, где их меньше. Заметим, что при таком перемещении буквы А мы могли разрушить лишь слова вида ABBA и ABBA, которые давали вклад в размер крутизны исходного слова. Предположим, что мы переместили букву К налево. Тогда слова вида BBA сохранились, а вместо слов вида ABB образованных буквой В слева от и двух букв В и буквы мы получим как минимум столько же слов, которые образуются из нашей передвинутой буквы двух любых букв У и любой буквы А, которая стояла в исходном слове справа от буквы А. Получается, что мы можем рассматривать только слова вида А...АВ...ВА...А. Если в левом блоке будет букв А, а в правом букв А, то крутизна такого слова равна

Заметим, что при фиксированной сумме произведение будет максимальным, если числа и отличаются не больше чем на в противном случае, если, например, то переместим одну букву из левого блока в правый, и крутизна изменится на

Таким образом, можно считать, что или причем (иначе в нашем слове не будет или букв А, или букв В). Теперь возьмем слово, в котором и заменим последнюю букву В на букву А. При такой замене крутизна слова изменится на величину

Значит, при крутизна слова после такой замены увеличивается, а при уменьшается. Аналогично, посмотрим, что произойдёт, если в слове, в котором заменить первую букву В на букву A:

Получается, что при крутизна слова после такой замены увеличивается, а при — уменьшается. Значит, мы можем последовательно совершать такие замены, сводя величину к значению и увеличивая в процессе крутизну. В итоге, наибольшая крутизна будет у слова, в котором и равна она

Замечание.

Последнюю часть решения можно провести по-другому. А именно, рассмотрим крутизну слова, в котором , как функцию от . Вычислим ее производную: . Нас интересует натуральная точка из отрезка , которая наиболее близка к нулю этой производной. Поскольку , в качестве такой точки необходимо выбрать число , что и приводит нас к примеру. Аналогичные вычисления для случая также дают значение , но крутизна такого слова оказывается меньше.