Полуинвариант

Лемма. Докажем, что для любого начального набора чисел существует число такое, что на доске никогда не появится числа больше, чем

Доказательство. Рассмотрим произвольную пару которую стерли в некоторый момент времени. Без ограничений общности можем считать, что тогда при некотором Рассмотрим функцию

Легко проверить, что на отрезке решение уравнения единственно (для этого можно решить квадратное это уравнение). Далее рассмотрим два случая:

Если то следовательно,

то есть большое из чисел пары не увеличилось.

Если то

Наконец, если — максимальное число начального набора, то на доске никогда не появится числа, которое было бы больше, чем

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Перейдем к доказательству основной задачи. Пусть — сумма чисел после минуты Тогда для произвольного в силу леммы,

Таким образом, после каждого шага сумма чисел на доске увеличивается не меньше, чем на

Наконец, если данный процесс будет продолжаться бесконечно долго, то сумма чисел может быть сколько угодно большой, что невозможно.