Индукция в комбинаторике
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Двое играют в карточную игру. У каждого есть колода из 30 карт. Каждая карта красная, зелёная или синяя. По правилам красная карта сильнее зелёной, зелёная сильнее синей, а синяя сильнее красной. Карты одного цвета равны. Колода каждого игрока перед началом партии перемешивается и кладётся перед ним рубашкой вверх. После этого оба открывают по верхней карте своей колоды. Если карты разного цвета, то выигрывает тот, чья карта сильнее. Если карты одинаковые, то они уходят в сброс, а игроки открывают ещё по одной карте - и так до тех пор, пока карты не окажутся различными. Если же обе колоды кончились, а победитель не выявлен, объявляется ничья.
Известно, что у первого игрока в колоде по 10 карт каждого цвета. Второй игрок имеет право взять любую колоду из 30 карт. Может ли он подобрать колоду так, чтобы вероятность его выигрыша была больше 1/2?
Источники:
Рассмотрим колоду, в которой одна синяя карта, а все остальные красного цвета. Найдём в этом случае вероятность выигрыша второго
игрока. Пусть 
вероятность выигрыша, когда у первого игрока 
красных карт, 
зелёных, 
синих, а у второго одна синяя и
все остальные красные (при условии 
). Также пусть 
- вероятность выигрыша, когда у второго игрока все карты
красные.
Легко видеть, что
при 
(если у первого выпала зелёная, то второй выиграл, если синяя, то проиграл, если красная, то игроки потратили по
одной красной карте и продолжили игру). Ясно также, что 
(в этом случае будет ничья). Отсюда по индукции получаем, что
при 
и 
.
Аналогично
(Здесь мы рассматриваем всевозможные пары ходов: одна из 
карт первого и одна из такого же количества карт второго. Если
у первого выпала зелёная, то второй выиграет во всех случаях, кроме одного; если красная, то второй либо выкладывает синюю и
побеждает, либо выкладывает красную и попадает в аналогичную игру с меньшим числом карт; если у первого синяя, то второй имеет
шанс на выигрыш, только если выложит синюю и попадёт в новую игру со всеми красными). Кроме этого, 
.
Легко проверить (догадаться сложнее... можно, например, угадать формулу, вручную посчитав вероятности для малых 
), что эти
равенства задают формулу
при 
. Тогда
при всех 
, в том числе и при 
.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
