Считаем рёбра

Степенью вершины многогранника называется количество исходящих из неё рёбер этого многогранника. Вершины называются смежными, если они соединены ребром. Пусть - произвольная вершина многогранника, - её степень, - степени всех смежных с ней вершин ( занумерованных в произвольном порядке. Тогда - это количество всех рёбер, исходящих из смежных с вершин, учтенных один или два раза, причём дважды учтены те и только те рёбра, которые лежат против вершины в некоторой треугольной грани многогранника. Значит, Отсюда, используя известное неравенство между средним арифметическим и средним квадратическим, получаем

Следовательно,

Обозначим сумму в левой части последнего неравенства за Пусть - все вершины многогранника, занумерованные в произвольном порядке, а - их соответственные степени Для любой пары смежных вершин и по неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим выполнено неравенство

Складывая эти неравенства по всем неупорядоченным парам смежных вершин многогранника, получаем

По доказанному выше неравенству отсюда следует требуемая оценка.