Простой путь, Гамильтонов путь, Гамильтонов цикл

Рассмотрим ориентированный граф, соответствующий условию задачи. Рассмотрим среди всех ацикличных подграфов нашего графа тот, в котором наибольшее количество рёбер. Пусть ребро не вошло в выбранный подграф. Поскольку его нельзя добавить, то среди выбранных рёбер есть путь, идущий из в Хорошо известно, что в графе нет циклов тогда и только тогда, когда его вершины можно занумеровать числами от до количества вершин так, чтобы рёбра шли только из вершин с меньшими номерами в вершины с большими номерами. Давайте возьмём такую нумерацию нашего подграфа, а все рёбра, не вошедшие в подграф, обратим. Заметим, что в новом графе существует путь наибольшей длины, не проходящий по перевёрнутым рёбрам, ведь каждое из них можно заменить на путь по неперевёрнутым: при это получится простой путь, так как номера вершин в полученном пути возрастает. Кроме того, в нём нет циклов. Значит, полученное обращение подходит.