Планарные графы

Пусть — многогранник и — его внутренняя точка. Возьмем сферу с центром в настолько большого радиуса, что многогранник будет содержаться полностью внутри нее. Рассмотрим точку на границе многогранника и проведем луч Пусть этот луч пересекает сферу в точке Таким образом можно спроецировать все точки многогранника на сферу. Теперь с помощью стереографической проекции из точки, не принадлежащей ни одному ребру, уложим граф на плоскость. Предположим, что при этом некоторые ребра графа пересекаются. Тогда окажется, что стереографическая проекция небиективна — противоречие. Итак, любой многогранник — плоский граф. Для него работает формула Пусть в каждую вершину входит ребер, и у каждой грани ребер. Тогда Тогда

И теперь

Из геометрических соображений очевидно, что и Простым перебором получаем, что при имеем при имеем и при имеем а при решений нет.

Итак, всего вариантов: тетраэдр ( октаэдр икосаэдр куб додекаэдр