Деревья и остовные деревья
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В королевстве имеется сеть дорог, соединяющих города. Из любого города можно по дорогам попасть в любой другой, но между каждой парой городов есть только один путь. Область — это группа городов, между которыми можно перемещаться, не проходя через другие города. Король выбрал несколько областей так, что каждая пара из них имеет общий город. Докажите, что все выбранные области имеют общий город.
Подсказка 1:
Ясно, что нужно перевести условие на язык графов. Вершины – города, рёбра – дороги, граф – дерево, а каждую область будем рассматривать некоторый связный подграф.
Подсказка 2:
Нужно показать, что выбранные области имеют общую вершину. Хорошей идеей будет постепенное удаление некоторых лишних вершин до тех пор, пока не удастся наткнуться на нужную.
Подсказка 3:
Удалять вершины нужно так, чтобы сохранялось условие задачи. Проще всего это сделать с листьями дерева. Подумайте, почему в какой-то момент удалить лист не получится?
Ясно, что задачу можно переформулировать в терминах графов: вершины — города, а ребра — дороги. Из условия известно, что граф —
дерево, а каждая область — это дерево какого-то подграфа. Рассмотрим произвольный лист дерева. Если его удаление не
нарушает условие пересечения выбранных областей, удалим его и повторим процедуру. Так как количество вершин в графе
конечно, процесс обязательно закончится. Пусть при удалении листа 
условие пересечения нарушается для поддеревьев
и 
Рассмотрим смежную с 
вершину 
(если её нет, то осталась одна вершина — общая для всех). Тогда,
поскольку нарушение наблюдается, хотя бы одно из поддеревьев, скажем 
не содержит 
Это возможно если 
состоит только из 
Так как все области пересекаются с 
содержится во всех поддеревьях, как и требовалось
доказать.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
