Связность и связные подграфы (клики)
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Определение. Граф 
называется 
-связным, если он имеет больше чем 
вершин и после удаления менее чем 
любых вершин граф
остаётся связным.
Докажите равносильность следующих условий:
(b) для любых двух вершин существует простой цикл, проходящий по ним;
(c) для любой вершины и любого ребра существует простой цикл, проходящий по ним.
Подсказка 1
Удаление k-1 вершины в k-связном графе не разрушает его связность. Какой вывод можно сделать для доказательства следствия из пункта (a) в пункт (b) по теореме Менгера?
Подсказка 2
В графе любые две вершины содержатся в простом цикле. Какой вывод из удаления одной из них для доказательства следствия из пункта (b) в пункт (a)?
Подсказка 3
Рассмотрим множество вершин-соседей некоторой вершины u и множество из двух вершин: концов некоторого ребра. Какой вывод можно сделать по теореме Геринга для доказательства следствия из пункта (a) в пункт (c)?
Подсказка 4
Для доказательства следствия из пункта (c) в пункт (a) попробуем использовать одно из уже проделанных доказательств, и выполнить аналогичное.
a 
b Между любыми двумя вершинами есть два непересекающихся пути по теореме Менгера.
b 
a При удалении любой вершины между любыми двумя оставшимися остался путь (одна из частей цикла), а значит граф
двусвязен.
a 
c Пусть даны вершина 
и ребро 
Пусть 
— соседи 
(
так как граф двусвязен). По теореме Геринга
между множествами 
и 
есть два непересекающихся пути. Следовательно, есть цикл через 
и ребро
c 
a Аналогично b 
a.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
