Паросочетания и лемма Холла

Иными словами, нам дан граф, в котором степень каждой вершины не больше а всего рёбер хотя бы Нас просят найти паросочетание из хотя бы рёбер. Предположим, что такого нет. Выделим максимальное паросочетание в графе, в нём не более рёбер. Назовём вершины, вошедшие в паросочетание, хорошими, а остальные — плохими. Заметим, что плохие вершины не соединены между собой рёбрами, иначе мы сможем увеличить максимальное паросочетание. То есть рёбра могут быть либо между хорошими вершинами, либо между хорошей и плохой вершиной.

Степень каждой вершины не более а значит между хорошими вершинами проведено не более рёбер. То есть хотя бы ребро проведено между хорошей и плохой вершинами.

Рассмотрим ребро из паросочетания. Заметим, что если вершина соединена с некоторой плохой вершиной а вершина — с другой плохой вершиной то мы можем удалить из паросочетания ребро и добавить рёбра и тем самым оно увеличится, то есть такая ситуация невозможна. Значит, если вершина соединена с плохой вершиной то возможны два случая. Либо вершина не соединена с плохими вершинами, тогда из в плохие вершины идёт не более рёбер. Либо соединена с и не соединена с другими плохими вершинами. Следовательно, суммарно из и выходит не более рёбер в плохие вершины. Тогда суммарно из хороших вершин выходит не более рёбер в плохие (потому что в паросочетании не более рёбер). Но ранее мы выяснили, что таких рёбер хотя бы противоречие.