Паросочетания и лемма Холла
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В государстве некоторые города соединены двусторонними беспересадочными авиалиниями. Из каждого города выходит не более авиалиний. Всего в государстве более авиалиний. Докажите, что найдутся авиалиний, никакие две из которых не имеют общих концов.
Подсказка 1
Понятно, что хочется найти паросочетание из хотя бы 11 ребер (если переведем задачу на язык графов). В задаче есть условие на ребра, степени - поэтому попробуем решать от противного и выделим максимальное паросочетание - в нем не больше 10 ребер. Какие выводы можно сделать из этого? Что можно сказать о вершинах, которые не вошли в такое паросочетание?
Иными словами, нам дан граф, в котором степень каждой вершины не больше а всего рёбер хотя бы Нас просят найти паросочетание из хотя бы рёбер. Предположим, что такого нет. Выделим максимальное паросочетание в графе, в нём не более рёбер. Назовём вершины, вошедшие в паросочетание, хорошими, а остальные — плохими. Заметим, что плохие вершины не соединены между собой рёбрами, иначе мы сможем увеличить максимальное паросочетание. То есть рёбра могут быть либо между хорошими вершинами, либо между хорошей и плохой вершиной.
Степень каждой вершины не более а значит между хорошими вершинами проведено не более рёбер. То есть хотя бы ребро проведено между хорошей и плохой вершинами.
Рассмотрим ребро из паросочетания. Заметим, что если вершина соединена с некоторой плохой вершиной а вершина — с другой плохой вершиной то мы можем удалить из паросочетания ребро и добавить рёбра и тем самым оно увеличится, то есть такая ситуация невозможна. Значит, если вершина соединена с плохой вершиной то возможны два случая. Либо вершина не соединена с плохими вершинами, тогда из в плохие вершины идёт не более рёбер. Либо соединена с и не соединена с другими плохими вершинами. Следовательно, суммарно из и выходит не более рёбер в плохие вершины. Тогда суммарно из хороших вершин выходит не более рёбер в плохие (потому что в паросочетании не более рёбер). Но ранее мы выяснили, что таких рёбер хотя бы противоречие.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!