Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела графы и турниры
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#83426

В двудольном графе по n  вершин в каждой доле и степень каждой вершины не менее n .
 2  Докажите, что в нем есть паросочетание, содержащее все вершины.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем пойти от противного. Тогда по теореме Кенига есть вершинное покрытие S, содержащее не более n-1 вершины. А сколько вершин из этого вершинного покрытия содержится в долях графа?

Подсказка 2

Верно, в одной из долей вершин не более (n-1)/2. Могло ли S действительно оказаться вершинным покрытием?

Показать доказательство

Предположим, что такого паросочетания нет. Тогда по теореме Кёнига есть вершинное покрытие, содержащее не более n − 1  вершин. Следовательно, это вершинное покрытие содержит не более n−1
 2  вершин в одной из долей. Но тогда это не вершинное покрытие, так как степень каждой вершины из другой доли больше n  n−1
2 > 2 .  Получили противоречие, значит есть паросочетание, содержащее все вершины.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!