Паросочетания и лемма Холла
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Оля и Максим оплатили путешествие по архипелагу из 
островов, где некоторые острова связаны двусторонними маршрутами катера.
Они путешествуют, играя. Сначала Оля выбирает остров, на который они прилетают. Затем они путешествуют вместе на катерах, по
очереди выбирая остров, на котором еще не были (первый раз выбирает Максим). Кто не сможет выбрать остров, проиграл. Докажите, что
Оля может выиграть.
Подсказка 1
Попробуем разбить острова на пары связанных маршрутом катера и отдельные острова. Рассмотрим такое разбиение с максимальным числом пар. Какую стратегию может выбрать Оля?
Подсказка 2
Верно! Сначала она выбирает прилет на отдельный остров. Затем, если Максим выбирает остров из какой-то пары, то Оля отвечает островом из этой пары. А может ли Максим сходить на отдельный остров?
Подсказка 3
Рассмотрим путь от начального острова до этого отдельного острова. Из скольки островов он состоит?
Подсказка 4
Верно! Ровно из 2k островов: k-1 пара островов и 2 отдельных острова. А можно ли разбить этот путь так, чтобы увеличить наше разбиение?
Назовём спариванием разбиение архипелага на пары островов, соединённых катером, и отдельные острова. Рассмотрим максимальное
спаривание (с наибольшим числом пар). Прилетим на какой-нибудь отдельный остров (такой очевидно есть). Если Максим ходит на остров
из какой-то пары, Оля отвечает ходом на второй остров этой пары. Предположим, что Максиму удастся сделать ход на отдельный остров.
Путь с начала до этого острова состоит из чётного числа 
островов: из 
пары и двух отдельных островов. Но этот путь можно было
разбить на 
пар, что увеличило бы спаривание. Противоречие.
Значит, ход Максима на отдельный остров невозможен, и Оля выиграет.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
