Оценка + пример
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На доску записали 99 чисел, среди которых нет равных. В тетрадку выписали 
чисел — все разности двух чисел с доски (каждый раз
из большего числа вычитали меньшее). Оказалось, что в тетрадке число 1 записано ровно 85 раз. Пусть 
— наибольшее число, записанное
в тетрадке. Найдите наименьшее возможное значение 
Источники:
Подсказка 1:
Хорошей идеей будет разбить все числа на арифметические прогрессии с разностью 1.
Подсказка 2:
Попробуйте обозначить через nᵢ количество чисел в i-й прогрессии. Чему равна сумма всех nᵢ? Попробуйте вычислить количество прогрессий.
Подсказка 3:
Зная количество прогрессий и количество чисел, можно оценить количество чисел в какой-то из прогрессий с помощью принципа Дирихле. Дальше до оценки недалеко. Не забудьте про пример.
Докажем, что 
Все числа с доски разбиваются на цепочки чисел вида
так, что числа из разных цепочек не отличаются ровно на 1. Такое разбиение нетрудно построить, соединив любые два числа, отличающиеся на 1, отрезком и рассмотрев полученные ломаные.
Пусть получилось 
цепочек, в которых 
…, 
чисел соответственно (некоторые цепочки могут состоять из одного числа). В
цепочке из 
чисел есть ровно 
пара чисел, отличающихся на 1. Поэтому общее количество единиц в тетрадке
равно
откуда 
Значит, в одной из цепочек не меньше, чем 
чисел, то есть не меньше 8 чисел. Разность наибольшего и
наименьшего чисел в такой цепочке не меньше 
Осталось привести пример, в котором 
Такой пример дают, например, числа
Действительно, в этом примере 
и ровно для первых 85 из этих чисел в наборе есть число, на единицу большее.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
