Оценка + пример

Если сумма оценок равна то все получили пятерки по обоим предметам, значит, все получат подарки от директора. Если сумма оценок равна или то двоек никто не получил, иначе сумма оценок была хотя бы на меньше, чем значит, от психолога никто подарка не получит. При этом не все получили только пятерки, значит, кто-то и от директора подарок тоже не получит. Таким образом, и подходят.

Теперь покажем, что меньше сумма оценок быть не может, то при сумме меньше все ученики могут получить подарки, если такая сумма вообще возможна. Обозначим сумму оценок через Сначала выставим всем пятерки по обоим предметам. В этот момент сумма оценок ровно Далее, первому ученику вместо пятерки по музыке поставим двойку. Теперь сумма Оценку по рисованию первому ученику изменим на или так, чтобы остаток у новой суммы и при делении на совпали. Теперь будем менять всем школьникам пятерки на двойки, пока сумма не станет равна Если такой момент не настал, то даже после замены всех пятерок на двойки полученная сумма больше а так как остатки у и текущей суммы при делении на одинаковы, то эта сумма больше хотя бы на Значит, даже если у первого ученика изменить оценку по рисованию на двойку (если она еще не была заменена), все равно текущая сумма останется больше При этом теперь у всех школьников и по музыке, и по рисованию двойки. Значит, текущая сумма равна а то есть такой суммы просто не может быть.