Неравенство о средних
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Положительные числа 
удовлетворяют соотношению
Найдите наибольшее возможное значение выражения 
Источники:
Подсказка 1
Давайте подумаем, как можно получить оценку? Через производную не получится. Какие ещё варианты есть?
Подсказка 2
Давайте решим через векторы. Пусть |х| = √(а² + с²), |у| = b и 2·х·у = аb + bc√3. Какие векторы х и у выбрать?
Подсказка 3
х = (а, с), у = (b/2, √3b/2). Тогда нам нужно максимизировать 2· x⋅y. Как это можно сделать?
Подсказка 4
Вспомним, что x⋅y = |x|⋅|y|⋅cos(θ), где θ - угол между векторами. Косинус ≤ 1. Тогда x⋅y ≤ |x|⋅|y|. Как тогда можно оценить правую часть?
Подсказка 5
По неравенству о средних! Сумму длин векторов x и у мы знаем. Тогда ab + bc√3 ≤ 1. Когда достигается равенство в неравенстве о средних?
Подсказка 6
Когда векторы х и у равны! Далее не трудно подобрать, чему равны a, b и c. Проверим, что они подходят.
Первое решение.
По неравенству о средних
то есть
Равенство достигается при
Подставляя это в равенство из условия, получим конкретные
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Второе решение.
Из условия имеем
Рассмотрим вспомогательные векторы на плоскости
Для них выполнено
Тогда условие задачи перепишется как
Как известно,
По неравенству о средних 
В итоге получается, что
При этом равенство достигается, когда векторы 
равны. Тогда 
и 
. То есть подойдут,
например,
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
