Анализ позиций

Будем называть число выигрышным, если при начале игры с него выигрывает первый игрок, и проигрышным, если второй. Число является выигрышным тогда и только тогда, когда существует ход из него в проигрышное число, а проигрышным — тогда и только тогда, когда любой ход из него ведёт в выигрышное число.

Пользуясь этим утверждением, можно, рассматривая натуральные числа последовательно, выяснить для любого конкретного числа, является оно выигрышным или проигрышным:

• число  — проигрышное,
• число  — выигрышное,
• число  — проигрышное (так как единственный ход из него ведёт в выигрышное число ),
• число  — выигрышное (так как из него есть ход в проигрышное число ),

и так далее.

Заметим, что число является проигрышным, следовательно, простое число является выигрышным. Число  — выигрышное: из него можно перейти в проигрышное число Поэтому число хоть и составное, является проигрышным (все три хода из него: и  — ведут в выигрышные числа).

Докажем, что 2 и 17 — единственные выигрышные простые числа. Предположим, что это не так, и рассмотрим следующее выигрышное простое число В таком случае  — проигрышное чётное число, поэтому среди делителей не может быть простых чисел, кроме и Но тогда от него можно перейти либо к числу 34, либо к числу и выиграть.

Если составное число имеет простой делитель отличный от и то из него есть ход в проигрышное число то есть число является выигрышным. Остались числа вида

Нетрудно убедиться, что , ,  — выигрышные, а  — проигрышное, поэтому числа при  — выигрышные: от них можно перейти к

Число  — проигрышное, поэтому числа вида при  — выигрышные: от них можно перейти к

Число  — проигрышное, поэтому числа при  — выигрышные, так как от них можно перейти к