Круги Эйлера

Разделим всех зверей на 4 группы: хищники, поехавшие на автомобилях (ХА), хищники на мотоциклах (ХМ), травоядные на автомобилях (ТА), травоядные на мотоциклах (ТМ). По условию, .

Сложим хищников и тех, кто поехал на мотоциклах: .

В этой сумме два раза посчитаны хищники на мотоциклах (ХМ) и ноль раз — травоядные на автомобилях (ТА). Но по условию их количества равны, поэтому если мы заменим одно слагаемое ХМ на равное ему слагаемое ТА, то в итоге получим сумму, в которой все виды зверей посчитаны по одному разу. Значит, мы получили общее количество зверей, откуда и следует ответ 40.

Представим всех мышей в виде точек на плоскости. Заключим в первый круг все точки, соответствующие мышам с серыми хвостами. По условию, таких 90. Во второй круг заключим всех мышей с белым пятнышком под глазом, по условию, таких 70. Тогда в пересечении этих двух кругов получим тех мышат, у которых и хвост серый, и белое пятнышко; по условию, таких всего 40.

Способ 1. Найдем количество мышей с серым хвостом, но без белого пятнышка, то есть количество точек в первом круге, не считая тех, что входят в пересечение двух кругов. Их .

Аналогично посчитаем количество мышей с белым пятнышком, но без серого хвоста. Их . Тогда общее количество мышей мы получим, сложив мышей с серым хвостом, но без пятнышка, с пятнышком, но без хвоста, а также мышей и с пятнышком, и с хвостом: .

Способ 2. Можно сосчитать нужный ответ и быстрее. Для этого сложим количество точек в первом и втором кругах: . Заметим, что точки в пересечении двух кругов мы посчитали дважды. Поэтому на самом деле количество всех мышей на 40 меньше, то есть равно .

Каждое второе число делится на 2, поэтому чисел, делящихся на 2, всего . Из всех чисел каждое третье делится на 3, поэтому таких чисел .

При этом некоторые числа делятся и на 2, и на 3. Все такие числа делятся тем самым на 6, поэтому они составляются шестую часть общего количества, то есть их .

Посчитаем теперь, сколько всего чисел делится или на 2, или на 3. Если мы сложим , то посчитаем нужное количество, но при этом числа, делящиеся и на 2, и на 3, будут посчитаны дважды. Значит, чтобы получить настоящие количества, надо из отнять числа, делящиеся на 6. Получим .

Наконец, чтобы получить искомый ответ, надо из общего количества чисел отнять те, что делятся или на 2, или на 3: как раз получим числа, которые не делятся ни на 2, ни на 3. Считаем: , именно столько чисел и выпишет Совунья.

Нарисуем круги Эйлера, соответствующие мышам с серыми хвостами и мышам с белым пятнышком. В пересечении мы получим мышей с серыми хвостами и белым пятнышком одновременно. Именно они составляют пятую часть среди мышей с серыми хвостами и четвертую часть среди мышей с белыми пятнышками. Значит, мышей с серыми хвостами — 5 частей, а мышей с белыми пятнышками — 4 части. Значит, больше мышей с серыми хвостами.

Комментарий: если сложить точки в обоих кругах, то точки из пересечения мы посчитали дважды, поэтому их количество нужно один раз вычесть.

Можно решать и иначе: посчитаем количество точек, лежащих в той части первого круга, которая не принадлежит второму (такая часть еще называется разностью исходных множеств). В этой разности будет точек. Следовательно, все точек . Очевидно, можно было посчитать и разность второго и первого, ответ от этого не поменяется.

Это “обратная” задача: мы знаем количество элементов в каждом из множеств, а также в их объединении, но не знаем количество элементов в пересечении. Есть два способа решить задачу

1) По формуле. Пусть в пересечении детей, тогда , то есть . 2) Через разность множеств. Так как всего детей 100, а на комедию пошло 63, то разность между приключениями и комедией составит 37 человек — именно столько ребят пошли только на приключения. Значит, на оба фильма сходили человек.

Всего у нас три группы людей: те, кто купил только хот-дог, те, кто купил только ватрушку, и те, кто купил ватрушку и хот-дог. 57 — это сумма первых и третьих, а 36 — сумма вторых и третьих. Тогда тех, кто купил только хот-дог, ровно , а тех, кто купил только ватрушку, ровно . Значит, всего детей .

Всего 28 человек занимаются чем-то, кто-то только в физическом, кто-то только в математическом, а кто-то и там, и там. Если мы сложим всех, кто ходит в физический, и всех, кто ходит в математический, получим, что тех, кто занимается в обоих кружках, мы посчитали два раза (а остальных ровно по одному). Тогда тех, кто занимается и там, и там, ровно .

Все числа делятся на 4 категории: не кратные ни 2, ни 3; кратные 2, но не кратные 3; кратные 3, но не кратные 2; кратные 6 (причем каждое число ровно в одной из категорий).

Последних — целая часть от . Вторых — целая часть от количество последних (нужно вычесть из всех, кратных 2, тех, кто кратен 3) = 33. Аналогично третьих — . А первых — все 99 (кол-во вторых + кол-во третьих + кол-во четвертых) .

Тогда

1)Ровно 16. 2) 33 числа. 3) 17 чисел. 4) количество первых чисел. 5) 33 числа.

Количество послушных детей кол-во послушных девочек кол-во послушных мальчиков кол-во непослушных мальчиков кол-во послушных мальчиков кол-во мальчиков.

Пусть — трудных задач, — задач, которые решили ровно двое, — легких задач. Тогда в сумме их .

Если сложим количество задач, которые решил каждый мальчик по отдельности, то получим, что каждую трудную задачу мы посчитали ровно один раз, каждую задачу, которую решили ровно двое, — ровно 2 раза, а каждую легкую — ровно 3 раза, то есть:

Вычтем два раза из второго уравнения первое про сумму всех задач (чтобы избавиться от ). Получим:

То есть кол-во трудных задач на 20 больше количества легких.

Ведем обозначения: ШК — кол-во шестиклассников в кроссовках, ШБ — кол-во шестиклассников в ботинках, ПК — кол-во пятиклассников в кроссовках, ПБ — кол-во пятиклассников в ботинках.

Распишем условие:

ШК + ШБ = 24

ШК + ПК = 16

ПБ = ШК

Тогда 16 = ШК + ПК = ПБ + ПК — количество всех пятиклассников. Тогда всего учеников ШК + ШБ + ПБ + ПК = 24 + 16 = 40.

Заметим, что на математике, физике и русском было и «учеников» (прогульщиков) соответственно. Суммарно получается но каждый «ученик» здесь посчитан дважды (потому что каждый из них посетил два предмета), то есть на самом деле их А всего ребят в классе тогда Получается, что на русский язык не пришли человек, зато они присутствовали и на физике, и на математике. Добавляя настоящих учеников (которым удалось не прогулять ни один предмет), получаем ответ.