Рыцари и лжецы

Рассмотрим одного эльфа, если такой есть. По условию, рядом с ним стоит нечетное число эльфов. Всего у него два соседа, и единственное нечетное число эльфов, которое может рядом с ним стоять, — эльф. Значит, рядом с ним с одной стороны стоит эльф, а с другой — тролль. То же верно для каждого эльфа в кругу. Поэтому все эльфы стоят парами: один эльф стоять не может, так как тогда рядом с ним будет четное число эльфов, а именно , а если подряд стоят больше двух эльфов, то рядом с не крайними эльфами стоят эльфа, что опять же не является нечетным числом.

Теперь посмотрим на какую-то группу из двух эльфов и разберемся, сколько троллей может стоять после них. Один тролль там обязательно стоит, так как больше двух эльфов подряд, как было доказано выше, стоять не может. Рассмотрим этого тролля. Рядом с ним уже стоит один эльф. Если с другой стороны будет стоять тролль, то рядом с этим эльфом будет стоять ровно эльф, то есть нечетное число эльфов, и тогда тролль скажет правду. Поэтому с другой стороны стоит эльф. Значит, пары эльфов разделены группами по одному троллю. Тогда мы получаем единственную возможную расстановку: ЭЭТЭЭТЭЭТ…. Отметим, что так как общее число островитян в кругу делится на , то такая расстановка действительно возможна, получается групп по островитянина: два эльфа и тролль. В таком случае эльфов .

Вспомним, что все эти рассуждения проходили в предположении, что в круге есть хотя бы один эльф. Если предположение неверно, то в кругу стоят одни тролли. И такой случай также подходит: тогда каждый эльф стоит рядом с эльфов, а  — четное число. Значит, все тролли врут, и все сходится. В таком случае эльфов .