Неравенство медианы

Лемма. Пусть медиана треугольника Тогда

Доказательство. Пусть — точка симметричная относительно . Тогда четырехугольник является параллелограммом, следовательно, по неравенству треугольника, имеем

Сократив обе части неравенства на 2, получим требуемое.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Вернемся к решению задачи. Применим доказанное неравенство к медианам и треугольников и . Имеем

Сложив данные неравенства, получим требуемое.