Неравенство медианы

(a) Пусть и  – положения конца минутных стрелок часов с номером в моменты и минут,  – центр -х часов, а  – центр стола.

Лемма. для любого

Доказательство. Рассмотрим треугольник с вершинами Ясно, что  – его медиана. Как известно, медиана треугольника не превосходит полусуммы прилежащих к ней сторон (достаточно достроить треугольник до параллелограмма и применить неравенство треугольника к ).

Понятно, что можно подобрать так, чтобы для некоторого точки и не лежали на прямой т. е. по крайней мере одно из неравенств становится строгим. Сложим все эти неравенства, получим

Ясно, что в таком случае либо либо
Тогда сумма расстояний от центра стола до концов минутных стрелок будет гарантированно больше, чем сумма расстояний до центров часов либо в момент , либо в момент

(b) Зафиксируем момент времени 0 – начало отсчета. Рассмотрим произвольные часы (с номером ). Из леммы в пункте ), в частности, следует, что среднее за один час расстояние от конца минутной стрелки до строго больше Докажем, что существует момент времени такой, что для любого среднее расстояние от конца минутной стрелки до за время от 0 до больше, чем Пусть  – время, которое занимает один полный оборот -ых часов. Введем еще переменную Пусть  – разность между средним расстоянием от конца минутной стрелки до за один полный оборот и (по замечанию, ). И, наконец, пусть есть среднее расстояние от конца минутной стрелки до за время от 0 до Нетрудно понять, что ограничено снизу одной и той же константой для всех Обозначим ее как (при этом вполне может быть отрицательным). Например, по неравенству треугольника ясно, что длины минутной стрелки, поэтому больше либо равно, чем

С помощью введенных обозначений, легко выразить разность между средним расстоянием за время от 0 до от конца минутной стрелки до и для произвольного

Объясним эту формулу. Разобьем время на максимальное число полных оборотов () и то что осталось – интервал от до Поскольку  – разность между средним расстоянием от конца минутной стрелки до за один оборот часов и то за оборотов средняя разность будет равна а суммарная разность . Ясно, что среднее расстояние от конца минутной стрелки до за время от 0 до равно среднему расстоянию за время от до поэтому средняя разность расстояния от конца минутной стрелки до и за это время равно а суммарное – Итак, в числителе стоит суммарная разность за время и ее мы делим на чтобы получить среднюю.

Поскольку по замечанию второе слагаемое в числителе ограничено снизу. А значит, если является достаточно большим числом, то первое слагаемое будет больше второго по модулю, и числитель будет являться положительным числом. Именно это и необходимо, чтобы среднее расстояние за время от 0 до от конца минутной стрелки до было больше

Вернемся к нескольким часам. Выберем наибольшее из всех и обозначим его Рассмотрим теперь разность суммы расстояний от концов минутных стрелок всех часов до и Рассмотрим среднее этой величины за время . Оно является суммой по всем разности между средним расстоянием (за время ) от конца стрелки до и По выбору все слагаемые этой суммы положительные. Итак, у нас есть некоторая величина, среднее значение которой положительно – значит и в некоторой точке значение этой величины положительно. Эта некоторая точка и является моментом времени, в котором сумма расстояний от концов минутных стрелок до центра стола больше, чем сумма расстояний от центров часов до центра стола. Именно это и требовалось получить.